Menu
04.07.2014| Пров| 2 комментариев

Алгебра 8 класс дорофеев суворова бунимович кузнецова минаева решебник

У нас вы можете скачать книгу алгебра 8 класс дорофеев суворова бунимович кузнецова минаева решебник в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Решение систем способом сложения. Что такое функция 5. Вероятность равновозможных событий 6. Если будет правельно то я готов вас расцеловать!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Я целый месяц двойки и тройки по алгебре получал , а теперь только 5! Как правильно листать слайды, читайте здесь: Как смотреть слайды смотрите здесь: Я бы хотел очень попросить админов сайта хоть немного сбавить обороты с рекламой!!!

Понимайте на сайте находится не возможно постоянно вылазеет реклама меня куда то переводит и самое главное я получаю вирусы! Не могли бы вы что нибудь сделать? Запишите уравнение, корни которого равны: Вычислите по данным диаграммы площадь каждого материка и каждой части света.

Результаты запишите, используя стандартный вид числа. Устюгов, Россия 19 Т. Сикора, Польша 14 97 М. Фуркад, Франция 25 Э. Свенсен, Норвегия 24 М. Максимов, Россия 13 91 77 Т. Бо, Норвегия 26 Глава 3 1 Для каждого биатлониста вычислите частоту попадания из положения лёжа и частоту попадания из положения стоя. Постройте по этим данным столбчатую диаграмму.

А из положения стоя? Как вы думаете, равны ли вероятности этих событий? Тренер составляет танцевальную пару. Сколько различных пар он может составить? Сколькими способами могут распределиться между ними места в турнире? Назовите коэффициенты а, Ь, с этого уравнения. Как это зависит от дискриминанта? Определите, сколько корней имеет уравнение: Покажите на этом примере, как решаются уравнения такого вида.

Определите знаки корней уравне- ния: В случае если корни имеют разные знаки, определите, модуль какого из них больше.

Вычислив дискриминант квадратного уравнения, определите: Вокруг детской площадки прямоугольной формы сооружена изгородь, длина которой 30 м.

Найдите значение е, при котором один из корней уравнения равен б. Сумма большего числа и квадрата меньшего равна Обозначьте меньшее число буквой х. Какое уравнение соответствует условию задачи? Через сколько секунд груз приземлится?

И для перевода подобной задачи на математический язык удобно использовать не одну, а две или несколько букв. При этом возникает уравнение с несколькими переменными. В этой главе вы будете изучать уравнения с двумя переменными. Такие уравнения можно интерпретировать графически на координатной плоскости. Л значит, снова встретятся алгебра и геометрия, формулы и графики.

Обозначим одно число буквой х, а другое — буквой iy. Это равенство, которое мы составили по условию задачи, называют уравнением с двумя переменными. Вообще любое равенство, содержащее две переменные, например 6л: Для уравнения с одной переменной главным был вопрос о его корнях.

Имея уравнение с двумя переменными, мы будем говорить о парах чисел — его решениях. Решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. Точно так же решениями этого уравнения служат пары 15; 5 , -6; -2 , 30; Системы уравнений Обратите внимание: При такой записи на первом месте обязательно ставят значение той переменной, которая по алфавиту идёт первой. В данном случае это переменная X.

Познакомимся подробнее с важным видом уравнений с двумя переменными, так называемыми линейными уравнениями. X у Уравнение с двумя переменными, так же как и уравнение с одной переменной, можно преобразовывать: При этом получается уравнение, имеющее те же репхения, что и исходное.

Используя эти свойства, в линейном уравнении можно выражать одну переменную через другую. Иными словами, это уравнение имеет бесконечное множество решений. Рассмотрим задачу на старинный сюжет, который вам, возможно, знаком. В клетке сидят фазаны и кролики, всего у них 18 ног. Сколько в клетке тех и других? Для перевода условия этой задачи на математический язык естественно ввести две переменные.

Понятно, что ни количество фазанов, ни количество кроликов отрицательным или дробным числом выражаться не могут. Поэтому надо найти такие пары хну, удовлетворяющие этому уравнению, которые составлены из натуральных чисел, или, как говорят, решить уравнение в натуральных числах. Всего получим четыре пары хну, подходящие по смыслу задачи см. Подобные задачи интересовали математиков ещё в глубокой древности.

Много занимался вопросом о решении в целых числах уравнений с двумя и более переменными древнегреческий учёный Диофант Александрийский III в. Он изобрёл разные способы решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями. D Что называется решением уравнения с двумя переменными? Системы уравнений Обозначьте в каждом случае неизвестные величины буквами и составьте по условию задачи уравнение с двумя переменными: Чему равны длины его сторон?

Чему равны длины боковой стороны и основания? Чему равны длины его катетов? Еаь ли среди составленных уравнений линейное? Приведите свой пример линейного уравнения с двумя переменными и уравнения, не являющегося линейным. Прокомментируйте каждый шаг выполненных преобразований. Какие свойства уравнений использовались? Решите это же уравнение относительно х. Объясните, как составлено уравнение в задаче о фазанах и кроликах фрагмент 3. Составьте уравнение по условию этой же задачи, обозначив буквой л: Доведите решение до конца, выполнив перебор.

Неверные утверждения переформулируйте так, чтобы они стали верными: Затем выразите х через у и найдите еш,ё два его решения. Среди задач, решённых Олегом, были задачи как одного, так и другого уровня. Всего он набрал 27 баллов. Могло ли быть так, что Олег решил: Если имеет, то приведите примеры решений: Решите задачу, составив по её условию уравнение с двумя переменными — Как он мог произвести оплату?

Найдите все возможные варианты. Всего в наборе палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников можно выложить, чтобы использованными оказались все палочки? За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический — 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил баллов.

Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько по геометрии? Системы уравнений Андрей работает летом в кафе. За каждый час работы ему платят р. На прошедшей неделе он заработал р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

За каждую правильно решённую задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

Их результаты представлены в таблице: График уравнения с двумя переменными определяется следующим образом: Точка с координатами хну принадлежит графику уравнения с двумя переменными в том и только том случае, когда пара чисел х; у является решением этого уравнения.

Построим теперь график какого-нибудь линейного уравнения, в котором один из коэффициентов при переменных равен 0. Его график, как вы уже знаете, есть прямая, параллельная оси х рис. Системы уравнений Верно также обратное утверждение: Из сказанного выше понятен способ построения графика линейного уравнения: Построим прямую, которая задаётся уравнением л: Найдём, например, точки, в которых эта прямая пересекает оси координат. Значит, график проходит через точку 0; 2. Значит, прямая проходит через точку -6; 0.

Отметим на координатной плоскости точки 0; 2 и -6; 0 и проведём через них прямую. График этого уравнения можно построить и по другим точкам. Понятно, что удобнее отме- О чать точки с целыми координатами. Поэтому возьмём значения л: Отметим на координатной плоскости точки 3; 3 и -3; 1 и проведём через них прямую рис. Некоторые из них вам уже встречались. Центр её находится в начале координат, а радиус равен 5. Интересно, что эта кривая когда-то носила поэтическое Рис.

X 2 -I Графиком какого из уравнений: Что общего у этих способов и чем они различаются? Графики каких уравнений, не являющихся линейными, вам знакомы? Найдите с помопдью графика несколько решений этого уравнения, составленных из целых чисел. Проверьте подстановкой, правильно ли вы указали решения. Запишите уравнение прямой, если известны коэффициенты а, Ь и Су и постройте эту прямую: Проходит ли она через точку: Постройте прямые в одной системе координат и определите координаты точки их пересечения.

Проверьте результат подстановкой найденной пары чисел в уравнения: Покажите на рисунке положение каждой из этих точек в координатной плоскости. Принадлежит ли графику, изображённому на рисунке 4. Системы уравнений Постройте в одной и той же системе координат следующие прямые: Определите координаты точек пересечения: Объясните, почему эти прямые не имеют общей точки.

Найдите коэффициент а и постройте эту прямую. Найдите коэффициент Ь и постройте эту прямую. Дайте ответ, не выполняя построения. Она называется кардиоидой так как имеет форму сердца. Найдите координаты точек пересечения кардиоиды с осями координат. Вычислите координаты точек пересечения этой окружности с осями координат. Иными словами, в таком виде может быть записано уравнение любой прямой, кроме вертикальной. Изучив этот пункт, вы увидите, что непосредственно из этой записи, не выполняя построения, легко узнать, как прямая расположена в координатной плоскости.

Прежде всего отметим следующий факт: Системы уравнений Рис. Назовите угловой коэффи- циент каждой из прямых. Покажите схематически, как в координатной плоскости расположен график уравнения: О Анализируем и рассуждаем — На рисунке 4. Соотнесите каждую из них с одним из следующих уравнений: У каких из них угловой коэффициент положителен?

Соотнесите прямые с уравнениями. В каждом случае объясните, почему можно сразу увидеть, что прямая построена неверно.

Системы уравнений а Уп Рис. Соотнесите каждую из них с одним из уравнений: Прокомментируйте в соответствии с условием задачи каждый ответ. Через некоторое время уровень начал снижаться в среднем на 20 см в час. Определите, на какой высоте над обычным уровнем окажется вода через 4 ч после начала снижения; через какое время вода достигнет обычного уровня.

Системы уравнений Постройте график уравнения: Рассмотрите график уравнения отдельно в каждой координатной четверти. Каковы координаты их точки пересечения? Построим прямые в одной и той же системе координат рис. Обозначим точку пересечения буквой М. Из рисунка видно, что координаты точки М — числа дробные, и по чертежу их можно найти только приближённо.

Если же нас интересуют точные координаты этой точки, то их придётся вычислить. Это можно сделать, используя уравнения прямых. Точка М принадлежит сразу двум прямым, поэтому её координаты должны удовлетворять одновременно двум уравнениям. В тех случаях, когда нужно найти обш,ие решения двух или более уравнений, говорят, что требуется решить систему уравнений. Тот факт, что уравнения рассматриваются как система, символически обозначают с помощью фигурной скобки: Пару чисел, которая является решением каждого из уравнений, входящих в систему, называют решением системы.

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или убедиться в том, что их нет. Сложим левые и правые части уравнений. При этом мы воспользуемся очевидным свойством числовых равенств: Так как коэффициенты при переменной у — противоположные числа, то при сложении у исчезнет, и получится уравнение с одной переменной: Возможность формулировать одни и те же утверждения и на геометрическом, и на алгебраическом языках даёт нам система координат, изобретение которой, как вы уже знаете, принадлежит Рене Декарту.

Преимуществом геометрического языка является его наглядность. Зато алгебраический язык позволяет сводить задачу к вычислениям. В силу этого обстоятельства он более приспособлен для передачи функций человека компьютеру.

Системы уравнений При решении системы, рассмотренной выше, мы воспользовались так называемым способом сложения. Он основан на следую-ш;ем утверждении: Любое уравнение системы можно заменить уравнением, полученным путём сложения или вычитания левых и правых частей уравнений, входящих в систему; при этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная. Приведём ещё примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Решим систему уравнений 5л: Коэффициенты при переменной х одинаковы. Поэтому умножим второе уравнение системы на —1. Далее будем действовать, как в примере, рассмотренном выше: Это позволит исключить переменную х и получить уравнение, в котором содержится только переменная у: Подставив это значение у в первое уравнение системы, найдём х: Заметим, что ответ можно записать иначе: Чтобы показать это, мы провели её пунктирной линией. Получили треугольник вместе с его границами рис.

График уравнения с двумя переменными Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел: Проходит ли через начало координат график уравнения: Определите, какие ИЗ данных точек лежат на этой окружности; внутри окружно- сти; вне окружности: Если можно, то укажите эти способы. Маленькая коробка стоит 70 р. Покупателю требуется ровно простых карандашей. Сколько маленьких и сколько больших коробок ему надо купить, чтобы покупка была максимально выгодной?

Указание, а Сложите первое и второе уравнения системы; получится уравнение 30л: Через год она будет старше его в 3 раза. Сколько лет сейчас каждому? Сколько лет каждому сейчас? Количество очков, полученных во второй игре, на 5 больше, чем удвоенное количество очков, полученных в первой игре. Сколько очков заработала команда в каждой игре?

Если каждое задание по алгебре оценивать в 2 балла, а каждое задание по геометрии — в 3 балла, то максимальное число баллов за работу будет равно Если каждое задание по алгебре оценивать в 3 балла, а каждое задание по геометрии — в 2 балла, то максимальное число баллов за работу будет равно Сколько заданий содержит работа?

Системы уравнений В таблице показано содержание белков и жиров в одной порции мяса и хлеба: Продукты Мясо Хлеб Белки, г 16 2 Жиры, г 11 1 Сколько порций мяса и хлеба надо съесть за один приём пищи, чтобы получить 26 г белков и 17,5 г жиров? Отец старше матери на 5 лет, а мать старше сына на 25 лет. Если первый сосуд наполнить водой и затем перелить её в два других сосуда, то либо второй сосуд наполнится доверху, а третий — на —, либо третий сосуд наполнится доверху, а второй — на —.

Расстояние от первой до последней станции 70 км. Расстояние между Абрамцево и Белово в 2 раза больше, чем между Белово и Виноградово; расстояние между Грибово и Дорохово в 1,5 раза больше, чем между Белово и Виноградово, и на 2 км меньше, чем между Виноградове и Грибово.

Расстояние между Виноградове и Дорохово в 4 раза больше, чем между Дорохово и Ельники. Чему равно расстояние от Абрамцево до Виноградове? Сколько стоит комплект из майки, одной пары шорт и одной пары кроссовок? Сравните результативность игроков по каждому из этих показателей. Год Перевезено грузов, млн т ,6 ,7 ,6 ,6 ,3 а Сколько млн тонн грузов перевозилось в среднем за год в этот период?

Насколько каждый из них отличается от среднего? Сколько различных вариантов программы можно составить, если решено, что первой будет выступать девочка? Сколько различных трёхзначных чисел он может из них составить? Системы уравнений Чему вы научились Это надо знать основные теоретические сведения 1 Что называется решением уравнения с двумя переменными? Какие из следующих уравнений являются линейными: Приведите примеры уравнений, задающих параллельные прямые.

Составьте систему уравнений и решите задачу 10— Сколько стоит карандаш и авторучка в отдельности? На всю покупку может быть потрачено р. Какое наибольшее число коробок с карандашами может быть куплено на эту сумму? Оказалось, что число рядов на 1 меньше числа ёлок в каждом ряду.

Сколько рядов и сколько ёлок в каждом ряду? Пусть X— число рядов, а у— число ёлок в каждом ряду. Какая система уравнений соответствует условию задачи?

Это понятие является математическим средством описания и исследования зависимости между величинами. Многие из таких зависимостей вам знакомы. Например, чем больше скорость, тем большее расстояние пройдёт объект за данное время. Казалось бы, всё очень просто. Однако понятие функции формировалось на протяжении веков. Вначале оно не было чётким и определённым, и только работы ряда великих математиков - от Лейбница в XVII в.

Зависимости представлены на графиках в наглядной, удобной для восприятия форме, что позволяет получать с их помощью самую разнообразную информацию. Родители измеряли рост сына каждые два года с 2 до 12 лет. Рост, см 82 Затем родители построили график роста сына. Для этого на горизонтальной оси отметили возраст, а на вертикальной — соответствующий рост.

В результате получились точки, которые для наглядности соединили отрезками рис. С помощью построенного графика можно узнать, например, какого роста был сын в 9 лет, в каком возрасте его рост был см.

Конечно, результат, прочитанный по графику, может отличаться от Глава 5 реального результата, но даёт о нём достаточно хорошее представление. По графику легко также увидеть, когда мальчик рос быстрее, а когда — медленнее. Например, с 2 до 4 лет он рос быстрее, чем с 4 до 6 лет. Можно вычислить среднюю скорость его роста в определённый период времени, для этого нужно найти отношение изменения роста за этот промежуток к его продолжительности.

Так, с 6 до 8 лет мальчик вырос со до см. С 10 до 12 лет мальчик рос медленно: И это позволяет сопоставлять представленные на них процессы. Вы, конечно, понимаете, что в данном случае нужно говорить о массе детей. У каждого из малышей вес сначала снижался, а потом и Маша, и Миша стали прибавлять в весе — так всегда бывает у новорождённых. Маша родилась с меньшим весом, однако уже на й день она догнала Мишу, на й день достигла своего первоначального функции Рис.

Наверное, Маша быстрее приспособилась к новой жизненной среде; она оказалась более активной, чем Миша. В учебнике для 7 класса вы уже встречались с графиками бега трёх спортсменов рис. Из сопоставления графиков сразу же видно, что Борис бежал дольше всех, а Вадим пробежал дальше всех.

В то же время, анализируя графики, тренер может получить ещё массу полезной информации, гораздо больше, чем если бы он просто узнал по секундомеру, за сколько времени бегуны преодолели свои дистанции.

Так, тренер видит, что с точки зрения поставленной им задачи — проверки выносливости — Андрей неправильно построил тактику бега и поэтому выдержал всего один час. Однако он видит так- Рис. Отсюда тренер может сделать вывод, что из Андрея может получиться неплохой спринтер — бегун на короткие дистанции. По графику бега Бориса видно, что он бежал, мягко говоря, не спеша, пробегая за 1 ч примерно 4 км, т. Возможно, он слишком буквально понял задачу — как можно дольше продержаться на дистанции.

Наконец, по графику бега Вадима видно, что он обладает хорошими способностями к бегу: Другими словами, Вадим умеет и быстро бегать, и распределять свои силы на дистанции, и, главное, обладает волевыми качествами. График, который вы видите на рисунке 5. По ней судят о работе сердца. В явном виде оси на этом графике не изображаются, но миллиметровая бумага позволяет врачу считывать интересующие его показания. Выделенный на графике цветом фрагмент показывает сердечный ритм.

Вы видите, что этот фрагмент периодически повторяется. Такого рода периодические процессы в реальной жизни встречаются часто. Это, например, изменение расстояния от Земли до Солнца во время вращения нашей планеты вокруг Солнца — через каждый год Земля возвращается в одну и ту же точку своей орбиты, и весь процесс снова повторяется. На нём выделены два участка с разной скоростью роста мальчика. Объясните, как на графике различаются более высокая и более низкая скорости протекания процесса.

Рассмотрите график на рисунке 5. Найдите среднюю скорость бега каждого из спортсменов на всей дистанции. Используя график, ответьте на вопросы: Результаты своих наблюдений он представил в виде таблицы: Проанализируйте, как менялась температура в течение этого месяца.

В каком месяце в вашей местности возможна такая ситуация? Один из них показывает процесс наполнения бака водой, а другой — процесс вытекания воды из бака. Вычислите скорость, с которой вода вливалась в бак; вытекала из бака. На всю прогулку он затратил полтора часа. На каком из графиков рис. Используя графики, определите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет. Запишите ещё несколько верных утверждений, описывающих утреннюю пробежку Андрея и Вадима.

Возьмём одну точку — середину скакалки точку А — и будем наблюдать, как меняется её высота над землёй в зависимости от времени. Наблюдаемый нами процесс — периодический. Назовите все такие моменты, если скакалку продолжают крутить 10 с. Сколько раз она окажется на этой высоте, если скакалку крутят 2 мин? Сколько километров к этому времени проехал велосипедист и прошёл пешеход?

На сколько времени раньше? Через час она вернулась к причалу. Максимальное удаление от причала составило 3 км. Графики их заплывов показаны на рисунке 5. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной — со-ответствуюш;ее расстояние пловца от старта. На сколько секунд он обогнал соперника?

В таких ситуациях одну величину называют независимой, а другую — зависимой. Так, с течением времени изменялись рост мальчика, вес ребёнка, пройденная бегуном дистанция.

В этих примерах время — независимая величина. Остальные величины, значения которых опре- функции делились значениями времени, зависимые. При построении графиков независимую величину мы всегда откладываем по горизонтальной оси, а зависимую — по вертикальной. Зависимость между величинами может устанавливаться не только с помощью графика. И конечно, независимой величиной может быть не только время.

Вы это увидите из следующих примеров. Для каждого значения температуры по Цельсию с помощью этой формулы можно найти соответствующее значение температуры по шкале Фаренгейта. Эту зависимость можно изобразить и графически. Для этого достаточно построить график уравне- Рис. Объясните, почему этот график — прямая линия.

В данном примере в качестве независимой величины рассматривается температура по шкале Цельсия, а в качестве зависимой — температура по шкале Фаренгейта.

В таблице, помещённой на с. Здесь t — независимая переменная, am — зависимая переменная. Каждому значению температуры t в градусах Цельсия , равному 10, 20, 30, Средством описания всего многообразия реальных зависимостей на математическом языке служит понятие функции. Главное в зависимости переменных состоит в том, что каждому значению независимой переменной некоторым образом — с помощью графика, таблицы, формулы или как-то иначе — поставлено в соответствие одно определённое значение зависимой переменной.

Переменную у называют функцией переменной jc, если каждому значению х из некоторого числового множества соответствует одно определённое значение переменной у. Для независимой переменной тоже есть специальное название: Выбор букв, которыми обозначены переменные, вообще говоря, роли не играет. Таким образом, функция — это переменная, значения которой определяются значениями другой переменной. В то же время в математике этот термин употребляется и в более широком смысле. Функцией часто называют не только одну из двух переменных, но и саму зависимость между ними, а также правило, по которому устанавливается соответствие между значениями аргумента и значениями функции.

Как мы уже видели, это правило может быть представлено разными способами — формулой, таблицей, графиком и т. В Правило, по которому по данному значению аргумента находят соответствуюпдее значение функции, принято обозначать какой-либо буквой. Чаш;е всего это буква f. Чтобы показать, что значения функции у получаются из значений аргумента х по правилу Д пишут: Значение функции, соот-ветствуюгцее значению аргумента, равному, например, -3, обозначают так: Иными словами, аргумент X не может принимать значение, равное Все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определения функции.

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считают, что она совпадает с областью допустимых значений аргумента. Однако если речь идёт о площади квадрата S как функции его стороны а, то областью определения этой функции является множество положительных чисел рис. А в математическом языке оно употребляется в переносном смысле, с элементом метафоры: Используйте формулу перевода температуры по шкале Фаренгейта в температуру по шкале Цельсия пример 1, фрагмент 1 для ответа на вопросы: Используя график на рисунке 5.

Укажите область определения функции: Задайте формулой время движения t как функцию скорости и. Найдите скорость движения, если время движения равно 5 ч; 6 ч; 8 ч.

За t мин в бассейн наливается V л воды. Задайте формулой зависимость V от t. Найдите значение функции V при значении аргумента равном 5; 10; 12,5. Найдите значение аргумента t, которому соответствует значение функции F, равное 60; ; Ежедневно расходовали 3 кг муки. Через X дней осталось у кг муки. Задайте формулой зависимость у от X, Найдите значение функции у при значении аргумента X, равном 3; 10; Укажите область определения функции.

Два последних блока в свою очередь делятся на главы, ответы к заданиям имеют развернутые решения с пояснениями и дополнениями. Некоторые задания решаются даже несколькими способами, это повышает уровень знаний учащихся. Благодаря подробным разъяснениям становится понятен алгоритм решения, и в дальнейшем восьмиклассник сможет справиться с подобными упражнениями без сторонней помощи. Родителям Решебник Алгебра 8 класс Г. Дорофеев тоже существенно помогает.

Благодаря доступно изложенному материалу, взрослые могут самостоятельно проверять готовность своих детей к урокам и контрольным работам по алгебре.