Menu
03.07.2014| Натан| 4 комментариев

Решебник по алгебре 7 класс мерзляк полонский якир 2014 на русском

У нас вы можете скачать книгу решебник по алгебре 7 класс мерзляк полонский якир 2014 на русском в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Что называют коэффициентом одночлена? Какие одночлены называют подобными? Что называют степенью одночлена? Является ли одночленом выражение: Укажите, какие из одночленов записаны в стандартном виде: Являются ли подобными одночлены: Он составлен из одночленов: Наибольшая из этих степеней равна числу 4.

О Определение Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен. Их не относят к многочленам стандартного вида. Считают, что нуль-многочлен степени не имеет.

Какой многочлен называют двучленом? Что называют подобными членами многочлена? Какой многочлен называют многочленом стандартного вида? Что называют степенью многочлена стандартного вида? Назовите одночлены, суммой которых является данный многочлен: Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида.

Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных: Какое из данных выражений принимает только отрицательные значения? Какое наименьшее значение может принимать выражение х - 7 2 -н 2? Раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения. Вообще, произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.

Для произведения одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Поэтому приведённое правило позволяет умножать многочлен на одночлен.

Умножив обе части данного уравнения на число 24, являющееся наименьшим общим знаменателем дробей, содержащихся в этом уравнении, получаем: Остаток при делении натурального числа т на б равен 5, а остаток при делении натурального числа п на 4 равен 2. Пусть неполное частное при делении ш на 6 равно а, а при делении а на 4 равно Ь. Каждое слагаемое полученной суммы делится нацело на 4, поэтому и сумма делится нацело на 4. Первые два слагаемых делятся нацело на 12, а третье — не делится.

Поэтому и сумма не делится нацело на Преобразуйте в многочлен произведение: Упростите выражение и найдите его значение: Докажите, что при любых значениях х значение выражения 4 л: Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество: Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше прои. Следовательно, искомыми числами являются 8, 9, 10 и Данное выражение представлено в виде произведения двух множителей, первый из которых равен 7, а второй принимает только целые значения.

Следовательно, при любом натуральном п значение данного выражения нацело делится на 7. Преобразуйте в многочлен выражение: Докажите, что при любом значении переменной значение выражения х -I- 3 х2 - 4х -f 7 - х2 - 5 х - 1 равно Докажите, что при любом значении переменной значение выражения х - 3 х2-ь 7 - х — 2 х2 - X-ь 5 равно Задумали четыре натуральных числа. Второе число на 1 больше первого, третье — на 5 больше второго, а четвёртое — на 2 больше третьего.

Найдите эти числа, если отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому. Задумали три натуральных числа. Второе число на 4 больше первого, а третье — на 6 больше второго. Найдите эти числа, если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого.

Найдите три последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны. Периметр прямоугольника равен 60 см.

Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Найдите исходные длину и ширину прямоугольника. Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки: Вычислите значение выражения, предварительно разложив его на множители: Найдите при этом значении у значение выражения: А дг2 - 23д: Вынесите общий множитель за скобки: Представьте в виде многочлена выражение: Какие одночлены надо подставить вместо звёздочек, чтобы выполнялось тождество: Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество: Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: Докажите, что не существует такого натурального числа а, при котором значение выражения 4а -ь 3 9а - 4 - ба - 5 ба -Н 5 - 3 а - 2 делится нацело на 8.

Чему равно значение выражения: Сравните значения выражений, не вычисляя их: Упражнения для повторения От села до станции Вася может доехать на велосипеде за 3 ч, а дойти пешком — за 7 ч. С какой скоростью ездит Вася на велосипеде? На каком расстоянии находится село от станции?

В одном мешке было 60 кг сахара, а в другом — кг. Когда из второго мешка взяли в 4 раза больше сахара, чем из первого, то в первом осталось в 2 раза больше сахара, чем во втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка? Один автомобиль может перевезти собранный с поля урожай за 10 ч, другой — за 12 ч, а третий — за 15 ч. За сколько часов они смогут перевезти урожай, работая вместе?

У каждого из 7 человек есть по 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна.

Масса одной горсти равна 80 г. Сколько горстей зерна ежегодно спасают благодаря кошкам? Сколько это составляет тонн зерна? Ответ округлите до сотых. Представьте данное выражение в виде квадрата одночлена: С", и Учимся делать нестандартные шаги Для перевозки груза выделили 4-, 7- и 8-тонные грузовики. Каждый автомобиль должен сделать только одну ходку.

Сколько требуется грузовиков каждого вида для перевозки 44 т груза? Разность квадратов двух выражений Вы уже знаете два способа разложения многочленов на множители: Рассмотрим ещё один способ. Теперь можно сформулировать правило. Приведём примеры применения этой формулы для разложения многочленов на множители. Выразите через п, Ru г площадь фигуры, ограниченной этими окружностями. Вычислите значение полученного выражения при i? Представьте в виде произведения трёх множителей выражение: Докажите, что при любом натуральном п значение выражения: Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3.

Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7. Упражнения для повторения Лодка двигалась 2,4 ч по течению реки и 3,6 ч против течения. Расстояние, пройденное лодкой по течению, на 5,4 км больше расстояния, пройденного против течения. Во второй день продали — того, что продали в первый день, а в третий — столько, сколько в первые два дня вместе.

Сколько килограммов апельсинов продали в первый день? Чему равно число а? Готовимся к изучению новой темы Запишите в виде выражения: Найдите удвоенное произведение одночленов: CZJ Учимся делать нестандартные шаги Меню состоит из блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Мы получили формулу квадрата разности двух выражений: Заметим, что формулу квадрата разности двух выражений можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух выражений: Поэтому их относят к формулам сокращённого умножения. Мы представили данный многочлен в виде суммы двух слагаемых, которые могут принимать только неотрицательные значения.

Какое из данных равенств является тождеством: Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений: Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена: Преобразуйте в квадрат двучлена выражение: Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел, найдите значение данного выражения: Является ли тождеством равенство: Докажите, что уравнение не имеет корней: Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х: Может ли принимать отрицательные значения выражение: Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х; укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х: Может ли принимать положительные значения выражение: Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен: Разложите на множители многочлен, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений: Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух выражений: При каких значениях хну равно нулю значение многочлена: Существуют ли такие значения хну, при которых равно нулю значение многочлена: Найдите значение выражения Представьте число 24 в виде суммы таких двух чисел, чтобы их произведение было наибольшим.

Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см. Г Упражнения для повторения 2 В первый день турист проехал 0,4 всего пути, во второй — — оставшегося, а в третий — остальные 20 км.

Общая площадь двух участков, засеянных кукурузой, равна га. На первом участке собрали по 90 т зелёной массы кукурузы с 1 га, а на втором — по 80 т. Найдите площадь каждого участка, если с первого участка собрали на т больше, чем со второго. Семь рыбаков ловили на озере рыбу. Первый ловил рыбу ежедневно, второй — через день, третий — через 2 дня и т.

Сегодня все рыбаки пришли на озеро. Через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере? Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равны? Какому многочлену равно выражение 4г- 1 2? Разложите на множители выражение - Какой из данных двучленов можно разложить на множители, применяя формулу разности квадратов? Известно, что чение а? Г -6 Чему равно зна- 8.

Упростите выражение с - 4 2 - 3 - с 2. Заметим, что эту формулу также можно доказать, перемножив многочлены, стоящие в правой части. Применив формулу суммы кубов, получим: Применив формулу разности кубов, получим: Данное выражение представлено в виде произведения, один из множителей которого равен 24, а другой — натуральное число. Следовательно, значение этого выражения делится нацело на Представьте в виде произведения выражение: Поставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество: Док21Жите, что значение выражения: Докажите, что значение выражения: Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.

Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам. Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело: Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9. В одном ящике было на 12 кг яблок больше, чем в другом.

Когда из первого ящика переложили во второй 4 кг яблок, то оказалось, что количество яблок во втором ящике составило у количества яблок в первом. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике сначала?

Представьте в виде произведения многочлен: Даны три числа, из которых каждое следующее на 4 больше предыдущего. Найдите эти числа, если произведение меньщего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего. Найдите общий путь, пройденный Петей, если дорога на гору на 3 км короче дороги с горы, а время, потраченное на весь путь, составляет 4 ч. Докажите, что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3. CZ3 Готовимся к изучению новой темы На координатной плоскости отметьте точки: Как расположена на координатной плоскости относительно оси х точка А, если: Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4, если две его стороны лежат на осях координат, а произведение координат одной из вершин — положительное число.

Сколько решений имеет задача? Обновите в памяти содержание п. Учимся делать нестандартные шаги Тогда на помощь приходит интернациональный математический язык. На нём перевод выглядит так: Как и любой другой язык, он имеет свой алфавит — математические символы.

Это цифры, буквы, знаки математических действий и т. Это связано с тем, что во времена аль-Хорезми математической символики ещё не существовало. Сказанное не означает, что до IX в. Следующий шаг в создании символики сделал в III в. Например, он не ввёл никаких специальных символов для обозначения сложения и умножения. Обозначение всех неизвестных величин одной буквой с, также сильно затрудняло запись решения задач, в которых фигурировали несколько переменных.

С закатом эпохи Античности алгебраическая символика Диофанта практически была забыта. Возобновление процесса создания алгебраической символики связано с трудами талантливого немецкого учёного XIII в. Иордана Неморария, который возродил в европейской математике идею буквенной символики.

Немало сделали для совершенствования математического языка немецкие математики XVI в. Ян Видман и Адам Ризе. Создателем буквенной символики по праву считается крупнейший французский математик XVI в. Он первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины. Такие обозначения позволили Виету не только решать отдельные уравнения, но и исследовать процесс решения сразу целого класса уравнений. Участвовали в создании языка математики и российские учёные.

Лейбницем и другие обозначения, о которых вы сможете узнать в курсе высшей математики. Эйлер использовал в своих трудах обозначения, предложенные другими учёными например, обозначение числа тс, впервые введённое Уильямом Джонсом в году. Благодаря авторитету и широкому распространению трудов Эйлера использованные им обозначения закрепились в математическом языке. Языки многих народов продолжают развиваться.

Не составляет исключения и математический язык. Новые открытия приносят в математику новые символы и термины. Тождество Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством. Степень с натуральным показателем Степенью числа а с натуральным показателем ti, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называют само это число. Знак степени При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число.

Коэффициент одночлена Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Степень одночлена Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него.

Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, считают равной нулю. Многочлен Выражение, которое является суммой нескольких одночленов, называют многочленом. Многочлен стандартного вида Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида. Степень многочлена Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.

Умножение одночлена на многочлен Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Умножение многочленов Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить. Функции в этой главе вы будете изучать связи между величинами. Познакомитесь с особым видом правила, определяющим эти связи, — функцией.

Изучите основные способы задания функции. Функция Учитель пишет на доске. При этом меняются длина мелового следа, масса, объём и даже температура кусочка мела. В течение дня меняются количество посетивших её учеников, расходы электроэнергии и воды, денежная выручка и т.

Вообще, в происходящих вокруг нас процессах многие величины меняют свои значения. Понятно, что некоторые из этих величин связаны между собой, то есть изменение одной величины влечёт за собой изменение другой.

Многие науки, такие как физика, химия, биология и другие, исследуют зависимости между величинами. Понятно, что при этом будет меняться и его периметр. Если длину стороны квадрата обозначить а, а периметр — Р, то зависимость значения переменной Р от значения переменной а коротко говорят: Эта формула является математической моделью связи между такими величинами, как длина стороны квадрата и его периметр.

С помощью этой формулы можно, выбрав произвольную длину стороны, найти соответствующее значение периметра квадрата. Поэтому в этой модели переменную а называют независимой переменной, а переменную Р — зависимой переменной. Подчеркнём, что эта формула задаёт правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

Семья положила в банк р. В таблице показано, как зависит сумма денег, находящихся на счёте, от количества прошедших лет. Количество лет, п 1 2 3 4 5 Сумма денег на счёте, М, р. ПО Эта таблица является математической моделью зависимости величины М от величины п. Здесь п выступает в роли независимой переменной, а М — зависимой. Подчеркнём, что эта таблица задаёт правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной.

На рисунке 8 изображён график зависимости температуры воздуха от времени суток. Используя этот график, можно, выбрав произвольный момент времени t, найти соответствующую температуру воздуха Т в градусах Цельсия.

Таким образом, величина t является независимой переменной, а величина Т — зависимой. Подчеркнём, что этот график задаёт правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной. Такое правило называют функцией, а соответствующую зависимость одной переменной от другой — функциональной.

Итак, правила, описанные в примерах 1, 2 и 3, являются функциями. Не всякая зависимость одной переменной от другой является функциональной. Например, пусть длина маршрута автобуса равна 15 км. Стоимость проезда определяется следующей таблицей.

Однако если считать стоимость проезда независимой переменной, то описанная зависимость не является функциональной. Действительно, если пассажир заплатил 30 р. Поэтому приведённая зависимость времени t от температуры Т не является функциональной. Если переменная у функционально зависит от переменной х, то этот факт обозначают так: Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции.

Так, в примере 1 областью определения функции являются все положительные числа; в примере 2 — натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5; в примере 3 — все неотрицательные числа, не превосходящие Так, если каждое из правил, описанных в примерах 1, 2 и 3, обо. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. В примере 1 область значений функции — это все положительные числа, в примере 2 — числа, записанные во второй строке таблицы, в примере 3 — все числа, не меньщие -5 и не большие 7.

Какое правило называют функцией? Какую зависимость одной переменной от другой называют функциональной? Что называют аргументом функции? Что такое область определения функции?

Что называют значением функции? Что такое область значений функции? Связаны ли между собой периметр равностороннего треугольника и его сторона? Если сторона треугольника равна а, а периметр — Р, то какой формулой задаётся зависимость переменной Р от переменной 3?

Является ли эта зависимость функциональной? Полученные результаты занесём в таблицу. Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда область определения функции состоит из нескольких чисел. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно Для задания данной функции используют форму записи с помощью фигурной скобки: При каком значении аргумента эти функции принимают равные значения?

Какие способы задания функции вы знаете? Прочитайте следующую запись, укажите аргумент функции и зависимую переменную: Найдите значение у, если: Область определения некоторой функции — однозначные натуральные числа, а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента. Задайте формулой функцию, если значения функции: При каких зна- чениях аргумента эти функции принимают равные значения?

При каком значении х значение функции равно значению аргумента? Какое из следующих уравнений: Даны три числа, из которых каждое следующее на 10 больше предыдущего. Найдите эти числа, если произведение наибольшего и среднего из них на больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел. Докажите, что выражение X у л- Z принимает только неотрицательные значения. Постройте прямую, проходящую через точки А -2;? Чему равны ординаты точек этой прямой? Постройте прямую, проходящую через точки С 3; 0 и D 3; Чему равны абсциссы точек этой прямой?

Докажите, что в любом значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате этого число будет делиться нацело на Эта формула задаёт функциональную зависимость переменной V от переменной t. Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было х рабочих. Обозначим число всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой у. Вот ещё примеры линейных функций: Заметим, что областью определения линейной функции являются все числа.

Состгавим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента. Заметим, что эта прямая не может быть вертикальной, то есть прямой, перпендикулярной оси абсцисс. Действительно, вертикальная прямая не может служить графиком функции см. Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками, то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции, имеющую лишь два столбца.

Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента. X 0 1 у 2 -1 Отметим на координатной плоскости точки 0; 2 и 1; -1 и проведём через них прямую рис. Напомним, что в курсе математики 6 класса вы уже познакомились с подобными зависимостями между величинами.

Такую зависимость называли прямой пропорциональностью. Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции это выражает схема, изображённая на рисунке 31 , то её график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом значении k проходит через точку О 0; 0. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через эзу точку и точку О 0; 0.

На рисунке 32 изображены графики прямых пропорциональностей, которые приводились выше в качестве примеров. Рассмотрим ещё один частный случай линейной функции. Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента.

Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например равные -2 и 0. Остаётся провести прямую через точки А -2; 2 и В 0; 2 рис. Эта прямая параллельна оси абсцисс. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке График данной функции пересекает ось ординат в точке 0; 4. Задайте формулой функцию, являющуюся прямой пропорциональностью, если её график проходит через точку М 2; При каком значении k график функции у - kx - 15 проходит через точку 5 3; —6?

Найдите значения k vs. Найдите значения k vs h. Найдите значения k vsb. Найдите значения k vs Ь. Один из графиков, изображённых на рисунке 35, отображает процесс наполнения одного бака водой, а другой — вытекания воды из другого бака.

Какая из прямых, изображённых на рисунке 36, является графиком функции: Какая из прямых, изображённых на рисунке 37, является графиком функции: Задайте формулой какие-нибудь две линейные функции, графики которых проходят через точку: Постройте в одной системе координат графики этих функций.

Точка С принадлежит отрезку АВ, длина которого равна 8. Длина отрезка АС равна х, длина отрезка ВС — у. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой является изображённая на рисунке Постройте график этой функции. Свойства уравнений с двумя переменными запомнить легко: Как правило, принимается во внимание порядок букв латинского алфавита. Преобразуем его, ис- пользуя свойства уравнений.

Отсюда пара чисел 1; -1 — единственное решение данного уравнения. Изучая какой-то объект, мы стремимся не только описать его свойства, но и составить о нём наглядное представление. График функции — характерный тому пример. Если изобразить все решения уравнения, то получим график уравнения. Поэтому его графиком является единственная точка М 1; -1 рис. Подчеркнём, что если какая-то фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия: Графики уравнений очень разнообразны.

Со многими из них вы познакомитесь в курсе алгебры. Следовательно, решениями данного уравнения являются все пары чисел вида х; 0 , где д: Следовательно, графиком данного уравнения является пара прямых, изображённых на рисунке Что называют решением уравнения с двумя переменными? Что означает решить уравнение с двумя переменными? Сформулируйте свойства уравнений с двумя переменными.

Что называют графиком уравнения с двумя переменными? Может ли график уравнения с двумя переменными состоять только из одной точки? Какие из данных уравнений являются уравнениями с двумя переменными: Является ли пара чисел -2; 3 решением уравнения: Какие из пар чисел 0; 1 ; 5; -4 ; 0; 1,2 ; -1; 1 ; 1; -1 являются решениями уравнения: Проходит ли через начало координат график уравнения: Укажите какие-нибудь три решения уравнения: Чему равно значение 6?

He выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения: Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения: Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел: Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку: Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку М 6; Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку К 0; 4.

Имеет ли решения уравнение: В случае утвердительного ответа укажите примеры решений. Сколько решений имеет уравнение: Приведите пример уравнения с переменными х и у: Что представляет собой график уравнения: Кате надо заплатить за брошюру 29 р.

Сколькими способами она может рассчитаться за покупку, не получая сдачи? Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре насчитывалось 2 балла, а за задачу по геометрии — 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и но геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача?

Найдите все возможные ответы. Найдите координаты её точек пересечения с осями координат. В ёмкость, содержащую мл восьмипроцентного раствора кислоты, добавили 90 мл воды. Чему равна концентрация кислоты в полученном растворе? В мешке 7 красных, 10 зелёных и 12 жёлтых яблок. Какое наименьшее количество яблок надо вынуть, не заглядывая в мешок, чтобы с вероятностью, равной 1, среди вынутых яблок хотя бы одно было зелёным?

Легковой автомобиль прибыл в город В через 3,5 ч после выезда, а грузовому осталось ещё проехать 77 км. Найдите расстояние между городами, если скорость грузового автомобиля в 1,4 раза меньше скорости легкового.

Найдите при тех же самых значениях m,nvik значение выражения: Линейное уравнение с двумя переменными и его график 1 Определение Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах Ъу - где х ул у — переменные, а, Ь, с — некоторые числа.

Вот ещё примеры линейных уравнений: Выясним, какая фигура является графиком линейного уравнения. Для этого рассмотрим три случая. Это уравнение можно преобразовать так: Мы получили формулу, задающую линейную функцию. Графиком линейной функции является невертикальная прямая. Графиком этого уравнения является прямая. Сколько было куплено словарей каждого вида, если орфографический словарь стоит 15 грн, а толковый — 24 грн? Через год он получил грн прибыли. К акая сумма была внесена на каждый счет?

Сколько купюр каждого номинала было в кассе? Когда из первого хранилища вывезли т угля, а из второго — т, то в первом осталось в 5 раз меньше угля, чем во втором.

Сколько тонн угля было в каждом хранилище сначала? Когда на покупку книг Петя потратил 30 грн, а Вася — 45 грн, то у Пети осталось в 2 раза больше денег, чем у Васи. Сколько денег было у каж дого мальчика сначала? Когда из первого меш ка пересыпали 12 кг муки во второй ме- 5 ш ок, масса муки во втором мешке составила - массы муки в первом. Сколько килограммов муки было в каждом мешке сначала?

Сколько килограммов угля было в каждом контейнере сначала? Первый рабочий ежедневно изготавливал 4 детали, а второй — 5 деталей. Через сколько дней первому рабочему останется изготовить в 2 раза больше деталей, чем второму, если они начали работать одновременно?

Когда из второй цистерны использовали в 2 раза больше воды, чем из первой, то во второй осталось в 3,5 раза больше воды, чем в первой. Сколько литров воды использовали из каждой цистерны? Сколько времени ехал до встречи каждый из них, если грузовой автомобиль выехал на 4 ч позже легкового? Через сколько минут после выезда велосипедист встретился с пешеходом, если расстояние между селами равно 14 км?

Решение задач с помощью уравнений 23 Из одного города в другой можно добраться на теплоходе за 6 ч, а по шоссе на автобусе — за 3 ч 30 мин. Путь, пройденный теплоходом по течению, на 48 км больше пути, пройденного им против течения. Найдите скорость течения, если против течения турист проплыл на 23 км больше, чем по течению. Сколько килограммов печенья было в каждом ящ ике сначала? Когда из первой корзины 3 переложили во вторую — массы находившихся в ней груш, то масса груш во второй корзине стала в 2 раза больше массы груш, оставшихся в первой корзине.

Сколько килограммов груш было в каждой корзине сначала? Сколько всего книг стояло на трех полках? Сколько литров молока разлили в четыре бидона? Но он изготавливал каждый день на 8 деталей больше, чем планировал, и уже за 2 дня до окончания срока работы изготовил 8 деталей сверх плана.

Сколько дней планировал рабочий выполнять задание? Но каждый день он решал на 4 задачи больше, поэтому уже за 3 дня до экзамена ему осталось решить 2 задачи. Сколько всего задач планировал решить ученик? Если цифры числа переставить, то полученное число будет на 54 меньше данного. Найдите данное двузначное число.

В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное 3 число будет в 1— раза больше данного. Найдите данное двузнач- 4 ное число. Через 2 ч после начала движения расстояние между ними составляло 30 км.

Имеется два водно-солевых раствора. Их общая площадь ,8 км 2. Найдите площадь каждого лимана. Сколько страниц в книге? Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет: Какое расстояние проехал велосипедист? На одном складе было т минеральных удобрений, а на втором — т. Первый склад отпускает ежедневно по 15 т удобрений, а второй — по 18 т. Через сколько дней масса удобрений, оставшихся на первом складе, будет составлять — массы удобрений, оставшихся на втором складе? Зависит ли эта разность от выбора чисел?

Докажите, что произведение чисел х и у делится нацело на 6. Докажите, что остаток при делении произведения чисел а и Ъ на 8 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел т и п на 11 равен 1. Есть кучек по монет в каждой. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на 1 г легче настоящей.

Масса настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на весах с электронным табло надо сделать, чтобы найти кучку из фальшивых монет?

Задайте эту зависимость формулой. Является ли эта зависимость функциональной? В случае утвердительного ответа назовите аргумент соответствующей функции. Через открытый кран каждую минуту из цистерны выливается 2 л воды. Является ли правило, с помощью которого по значению переменной t можно найти значение переменной V, функцией? В случае утвердительного ответа укажите область определения и область значений этой функции.

Задайте формулой зависимость переменной V от переменной а. В случае утвердительного ответа укажите, какая из переменных является аргументом соответствующей функции. Задайте формулой зависимость Р от а. В случае утвердительного ответа укажите, какая из переменных является аргументом соответствующей функции, ее область определения и область значений. Какое из этих правил является функцией?

Является ли такое правило функцией? Из города А в город В одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Через 3,5 ч после выезда легковой автомобиль прибыл в город В, а грузовому осталось еще проехать 77 км.

Найдите расстояние между городами, если скорость грузового автомобиля в 1,4 раза меньше скорости легкового. Найдите массу меди в этом слитке. Из Киева в Лубны, расстояние меж ду которыми равно км, выехал автобус. С какой скоростью двигался автобус, если они встретились через 1,2 ч после выезда автомобиля?

Купец купил арш ин2 черного и синего сукна за руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. Сколько лодок каждого вида было у туристов? Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы. Найдите, сколько гектаров земли в день вспахал один гусеничный трактор и сколько — один колесный. Первый рабочий работал 7 дней, а второй — 12 дней. Сколько деталей изготавливал ежедневно каждый рабочий, если первый за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй — за 4 дня?

В первый день одна бригада работала 5 ч, а другая — 4 ч, причем вместе они собрали 40 ц яблок. На следующий день бригады работали с той же производительностью труда, при этом первая бригада собрала за 3 ч на 2 ц больше, чем вторая — за 2 ч.

Сколько центнеров яблок собирала каж дая бригада за 1 ч? Сколько стоит набор карандашей и сколько — циркуль, если 3 набора карандашей дороже одного циркуля на 30 грн? Сколько стоит тетрадь и сколько — ручка, если 5 тетрадей дороже 4 ручек на 7 грн? Найдите скорость каждого из них, если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше, чем автомобиль за 1 ч. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше, чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда.

Найдите скорость каждого поезда. Спустя 30 мин из этого же села на станцию выехал велосипедист, который догнал пешехода через 10 мин после выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса.

Спустя 2,5 ч после начала его движения навстречу ему из Одессы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Если из первого бидона перелить во второй 10 л молока, то в обоих бидонах молока станет поровну.